Base duale

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la base duale è una particolare base costruita a partire da una base data. Il concetto di base duale è utile nello studio dello spazio duale e dei tensori.

Dato uno spazio vettoriale ${\displaystyle V}$ su campo ${\displaystyle K}$ di dimensione finita ${\displaystyle n}$, lo spazio duale ${\displaystyle V^{*}}$ è l'insieme di tutte le applicazioni lineari da ${\displaystyle V}$ in ${\displaystyle K}$.

Fissata per ${\displaystyle V}$ una base ${\displaystyle ({\textbf {e}}_{1},\ldots ,{\textbf {e}}_{n})}$, la base duale ${\displaystyle ({\textbf {e}}^{1},\ldots ,{\textbf {e}}^{n})}$ è una base di ${\displaystyle V^{*}}$ univocamente determinata dalle seguenti relazioni:

${\displaystyle {\textbf {e}}^{i}({\textbf {e}}_{j})=\delta _{ij},}$

dove ${\displaystyle \delta _{ij}}$ è la delta di Kronecker.

Ogni vettore ${\displaystyle {\textbf {v}}}$ di ${\displaystyle V}$ può essere espresso in modo univoco come combinazione lineare degli elementi della base:

${\displaystyle {\textbf {v}}=\sum _{i=1}^{n}v^{i}{\textbf {e}}_{i}=v^{i}{\textbf {e}}_{i},}$

dove l'ultima notazione è quella cosiddetta di Einstein.

Il risultato dell'applicazione di ${\displaystyle {\textbf {e}}^{i}}$ su ${\displaystyle {\textbf {v}}}$ è il seguente:

${\displaystyle {\textbf {e}}^{i}({\textbf {v}})={\textbf {e}}^{i}\left(\sum _{k=1}^{n}v^{k}{\textbf {e}}_{k}\right)=\sum _{k=1}^{n}v^{k}\delta _{ik}=v^{i}.}$

Quindi ${\displaystyle {\textbf {e}}^{i}}$ è l'applicazione che "estrae" da un vettore ${\displaystyle {\textbf {v}}}$ la ${\displaystyle i}$-ma componente ${\displaystyle v^{i}}$ delle sue coordinate rispetto alla base. Tale applicazione è a volte chiamata proiettore: può infatti essere interpretata come una proiezione sulla retta generata da ${\displaystyle {\textbf {e}}_{i}}$.

Sia ${\displaystyle f}$ un generico elemento di ${\displaystyle V^{*}}$, cioè una applicazione lineare ${\displaystyle f}$ da ${\displaystyle V}$ a ${\displaystyle K}$. Applicata su un vettore

${\displaystyle {\textbf {v}}=\sum _{i=1}^{n}v^{i}{\textbf {e}}_{i}=v^{i}{\textbf {e}}_{i}}$

produce la relazione:

${\displaystyle f({\textbf {v}})=\sum _{i=1}^{n}v^{i}f({\textbf {e}}_{i})=v^{i}f({\textbf {e}}_{i}).}$

L'applicazione ${\displaystyle f}$ è quindi univocamente definita da come agisce sugli elementi della base di ${\displaystyle V}$. D'altra parte la ${\displaystyle f}$ trasforma un vettore in un elemento del campo ${\displaystyle K}$, per cui la ${\displaystyle f}$ è definita dagli ${\displaystyle n}$ "numeri":

${\displaystyle f_{i}=f({\textbf {e}}_{i}).}$

Di conseguenza, la ${\displaystyle f}$ è ottenuta come combinazione lineare degli ${\displaystyle {\textbf {e}}^{i}}$:

${\displaystyle f=\sum _{i=1}^{n}f_{i}{\textbf {e}}^{i}=f_{i}{\textbf {e}}^{i}.}$

Infatti vale la relazione:

${\displaystyle f({\textbf {v}})=\sum _{i=1}^{n}f_{i}{\textbf {e}}^{i}({\textbf {v}})=\sum _{i=1}^{n}f_{i}v^{i}=f_{i}v^{i}.}$

Ogni applicazione ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle V^{*}}$ può essere quindi espressa in modo univoco come combinazione lineare delle applicazioni ${\displaystyle {\textbf {e}}^{i}}$, e pertanto:

• ${\displaystyle ({\textbf {e}}^{1},\ldots ,{\textbf {e}}^{n})}$ è effettivamente una base di ${\displaystyle V^{*}}$, che ha quindi dimensione ${\displaystyle n}$;
• le ${\displaystyle f_{i}}$ sono le coordinate di ${\displaystyle f}$ rispetto a tale base.

Le basi di ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle V^{*}}$ presentano la seguente simmetria:

• applicando ${\displaystyle {\textbf {e}}^{i}}$ a un vettore ${\displaystyle {\textbf {v}}}$ si ottiene la i-esima componente di ${\displaystyle {\textbf {v}}}$ rispetto alla base ${\displaystyle ({\textbf {e}}_{1},\ldots ,{\textbf {e}}_{n})}$ di ${\displaystyle V}$:

${\displaystyle {\textbf {e}}^{i}({\textbf {v}})=v^{i};}$

• applicando una applicazione ${\displaystyle f}$ a ${\displaystyle {\textbf {e}}_{i}}$ si ottiene la i-esima componente di ${\displaystyle f}$ rispetto alla base ${\displaystyle ({\textbf {e}}^{1},\ldots ,{\textbf {e}}^{n})}$ di ${\displaystyle V^{*}}$:

${\displaystyle f({\textbf {e}}_{i})=f_{i}.}$

Le due relazioni esprimono una "dualità" delle due basi.

Un altro modo per esprimere questa dualità si ottiene considerando lo spazio duale di ${\displaystyle V^{*}}$, detto anche spazio biduale di ${\displaystyle V}$, che si indica con ${\displaystyle V^{**}}$ ed è costituito dall'insieme di tutte le applicazioni lineari su ${\displaystyle V^{*}}$. Poiché ${\displaystyle V^{*}}$, come si è visto, è uno spazio vettoriale di dimensione ${\displaystyle n}$, anche ${\displaystyle V^{**}}$ lo è.

Ora risulta cruciale osservare che ogni elemento di ${\displaystyle V^{**}}$ resta "naturalmente" associato ad un vettore di ${\displaystyle V}$. Infatti, è possibile associare ad un vettore ${\displaystyle {\textbf {v}}}$ di ${\displaystyle V}$ l'applicazione ${\displaystyle F_{v}}$ di ${\displaystyle V^{**}}$ che agendo sull'applicazione ${\displaystyle f}$ produce lo stesso scalare che produce ${\displaystyle f}$ agendo su ${\displaystyle {\textbf {v}}}$:

${\displaystyle F_{v}(f)=f({\bar {\textbf {v}}}).}$

L'applicazione da ${\displaystyle V}$ in ${\displaystyle V^{**}}$ definita da

${\displaystyle {\textbf {v}}\mapsto F_{v}}$

è un isomorfismo canonico, che non dipende cioè dalla scelta delle basi. Gli spazi ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle V^{**}}$ sono quindi naturalmente identificati. Analogamente, gli spazi ${\displaystyle V^{*}}$ e ${\displaystyle V^{***}}$ sono naturalmente identificati.

Questa dualità fra spazi riflette quella fra le basi: la base duale di ${\displaystyle ({\textbf {e}}^{1},\ldots ,{\textbf {e}}^{n})}$ è effettivamente ${\displaystyle (F_{e_{1}},\ldots ,F_{e_{n}})}$. Infatti:

${\displaystyle F_{e_{i}}(f)=f({\textbf {e}}_{i})=f_{i}.}$

La dualità può essere espressa in modo più evidente interpretando l'applicazione di un funzionale ${\displaystyle f}$ ad un vettore ${\displaystyle {\textbf {v}}}$ - che fino ad ora abbiamo scritto come ${\displaystyle f({\textbf {v}})}$ mettendo in evidenza che ${\displaystyle f}$ è una applicazione da ${\displaystyle V}$ a ${\displaystyle K}$ - come una applicazione bilineare da ${\displaystyle V^{*}\times V}$ a ${\displaystyle K}$, definita nel modo seguente:

${\displaystyle \langle ,\rangle :V^{*}\times V\to K}$

${\displaystyle \langle f,{\textbf {v}}\rangle =f({\textbf {v}})=F_{v}(f).}$

L'applicazione bilineare associa ad ogni coppia di elementi di ${\displaystyle V^{*}}$ e di ${\displaystyle V}$ uno scalare. L'operazione ${\displaystyle \langle f,{\textbf {v}}\rangle }$ può essere intesa in duplice senso: come una applicazione ${\displaystyle f}$ che agisce su un vettore ${\displaystyle {\textbf {v}}}$ o come un vettore ${\displaystyle {\textbf {v}}}$ (anzi, ${\displaystyle F_{v}}$) che agisce su una applicazione ${\displaystyle f}$.

Così facendo le dualità degli spazi e delle basi possono essere espresse in forma "simmetrica" e sintetica nel modo seguente:

${\displaystyle \langle {\textbf {e}}^{i},{\textbf {v}}\rangle =v^{i},\qquad \langle f,{\textbf {e}}_{i}\rangle =f_{i}.}$

In particolare se tali relazioni si applicano agli elementi delle due basi, si ottiene la relazione originaria:

${\displaystyle \langle {\textbf {e}}^{i},{\textbf {e}}_{j}\rangle =\delta _{ij}.}$

In matematica, un isomorfismo è naturale se la sua costruzione è univoca, non dipende cioè da nessuna scelta. Come visto sopra, esiste un isomorfismo naturale fra ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle V^{**}}$. Invece in generale non esiste un modo altrettanto naturale di associare gli elementi di ${\displaystyle V}$ a quelli di ${\displaystyle V^{*}}$. Trattandosi di spazi aventi le stesse dimensioni, esiste (per il teorema della dimensione) un isomorfismo fra questi: tuttavia questo isomorfismo, per essere determinato concretamente, dovrà fare riferimento a qualche scelta determinante. La scelta può consistere nella costruzione di una base o di un prodotto scalare per ${\displaystyle V}$.

Un isomorfismo tra ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle V^{*}}$ può essere costruito a partire da una base ${\displaystyle ({\textbf {e}}_{1},\ldots ,{\textbf {e}}_{n})}$ per ${\displaystyle V}$. Questa determina una base duale ${\displaystyle {\textbf {e}}^{1},\ldots ,{\textbf {e}}^{n}}$, e l'isomorfismo fra ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle V^{*}}$ associa al vettore ${\displaystyle {\textbf {v}}}$ avente componenti ${\displaystyle v^{i}}$ l'applicazione ${\displaystyle f}$ avente uguali componenti ${\displaystyle f_{i}=v^{i}}$ rispetto a ${\displaystyle {\textbf {e}}^{i}}$.

Prendendo un'altra base di partenza, l'applicazione associata a ${\displaystyle {\textbf {v}}}$ non è però più necessariamente la stessa ${\displaystyle f}$: in questo senso, l'isomorfismo non è naturale.

È possibile definire un isomorfismo tra ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle V^{*}}$ a partire da un prodotto scalare per ${\displaystyle V}$, cioè una particolare applicazione bilineare:

${\displaystyle \langle ,\rangle \colon V\times V\to K}$

${\displaystyle \langle ,\rangle \colon ({\textbf {w}},{\textbf {v}})\to \langle {\textbf {w}},{\textbf {v}}\rangle .}$

Grazie a questo prodotto scalare è possibile associare ad un vettore ${\displaystyle {\textbf {w}}}$ di ${\displaystyle V}$ l'applicazione ${\displaystyle f_{w}}$ tale che:

${\displaystyle f_{w}({\textbf {v}})=\langle {\textbf {w}},{\textbf {v}}\rangle .}$

In questa relazione, l'applicazione bilineare di sinistra è quella naturale definita precedentemente, mentre quella di destra è il prodotto scalare su ${\displaystyle V}$. Qualora si identifichi ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle V^{*}}$ in questo modo, anche queste due applicazioni bilineari risultano essere identificate.

Anche in questo caso, l'isomorfismo non è naturale, perché dipende dalla scelta di un prodotto scalare per ${\displaystyle V}$.

La base standard di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ (il piano cartesiano) è:

${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\}=\left\{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right\}}$

mentre la base standard del suo duale ${\displaystyle {\mathbb {R} ^{2}}^{*}}$ è:

${\displaystyle \{\mathbf {e} ^{1},\mathbf {e} ^{2}\}=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}}\right\}.}$

In tre dimensioni, per una data base ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\}}$ si può trovare la base duale (o biortogonale) ${\displaystyle \{\mathbf {e} ^{1},\mathbf {e} ^{2},\mathbf {e} ^{3}\}}$ con le formule:

${\displaystyle \mathbf {e} ^{1}=\left({\frac {\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}{V}}\right)^{T},\ \mathbf {e} ^{2}=\left({\frac {\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1}}{V}}\right)^{T},\ \mathbf {e} ^{3}=\left({\frac {\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}}{V}}\right)^{T},}$

dove l'apice ${\displaystyle T}$ indica la trasposta e

${\displaystyle V=\det \left(\mathbf {e} _{1};\mathbf {e} _{2};\mathbf {e} _{3}\right)=\mathbf {e} _{1}\cdot (\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3})=\mathbf {e} _{2}\cdot (\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1})=\mathbf {e} _{3}\cdot (\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2})}$

è il volume orientato del parallelepipedo formato dai vettori ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$, ${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$ e ${\displaystyle \mathbf {e} _{3}}$.

• (EN) P.M. Cohn, Algebra, Wiley (1982)
• (EN) Lebedev, Leonid P.; Cloud, Michael J.; Eremeyev, Victor A. (2010). Tensor Analysis With Applications to Mechanics. World Scientific. ISBN 978-981431312-4

• Base (algebra lineare)
• Covarianza e controvarianza
• Prodotto scalare
• Spazio duale
• Spazio riflessivo
• Spazio vettoriale
• Spazio euclideo
• Tensore

• (EN) Eric W. Weisstein, Dual Basis, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Base duale, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.