Equazione di Cesaro

L'equazione di Cesàro di una curva piana (che prende il nome da Ernesto Cesaro) è un'equazione intrinseca che esprime la curva tramite una relazione tra la sua curvatura e la sua ascissa curvilinea. Può essere formulata in maniera equivalente in funzione del raggio di curvatura e dell'ascissa curvilinea, in quanto il raggio di curvatura è l'inverso della curvatura stessa. L'equazione di Cesàro è intrinseca e dunque non dipende dalla parametrizzazione, e due curve congruenti hanno la stessa equazione di Cesàro.

Alcune curve facilmente esprimibili tramite la loro equazione di Cesàro sono le seguenti:

• retta: ${\displaystyle \kappa =0}$;
• circonferenza: ${\displaystyle \kappa ={\frac {1}{r}}}$, dove ${\displaystyle r}$ è il raggio;
• spirale logaritmica: ${\displaystyle \kappa ={\frac {C}{s}}}$, con ${\displaystyle C}$ constante;
• evolvente della circonferenza: ${\displaystyle \kappa ={\frac {C}{\sqrt {s}}}}$, con ${\displaystyle C}$ costante;
• clotoide: ${\displaystyle \kappa ={\frac {s}{a}}}$, con ${\displaystyle a}$ costante;
• catenaria: ${\displaystyle \kappa ={\frac {a}{s^{2}+a^{2}}}}$.

L'equazione di Cesàro di una curva è correlata all'equazione di Whewell. Se la curva ha equazione di Whewell ${\displaystyle \varphi =f(s)\!}$ allora l'equazione di Cesàro è data da ${\displaystyle \kappa =f\prime (s)\!}$.

• The Mathematics Teacher, National Council of Teachers of Mathematics, 1908, p. 402.
• Edward Kasner, The Present Problems of Geometry, Congress of Arts and Science: Universal Exposition, St. Louis, 1904, p. 574.
• J. Dennis Lawrence, A catalog of special plane curves, Dover Publications, 1972, pp. 1–5, ISBN 0-486-60288-5.

• (EN) Eric W. Weisstein, Cesàro Equation, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Curvature Curves, su 2dcurves.com.