Equazione xʸ = yˣ

In generale, l'elevamento a potenza non gode della proprietà commutativa. Tuttavia, l'equazione ${\displaystyle x^{y}=y^{x}}$ vale in casi speciali, come ${\displaystyle x=2,\ y=4.}$

L'equazione ${\displaystyle x^{y}=y^{x}}$ è menzionata in una lettera di Daniel Bernoulli a Christian Goldbach del 29 giugno 1728.^[1] La lettera afferma che quando ${\displaystyle x\neq y}$ le uniche soluzioni nell'insieme dei numeri naturali sono ${\displaystyle (2,4)}$ e ${\displaystyle (4,2),}$ sebbene ci siano infinite soluzioni nell'insieme dei numeri razionali, come

${\displaystyle \left({\tfrac {9}{4}},{\tfrac {27}{8}}\right),\left({\tfrac {256}{81}},{\tfrac {64}{27}}\right),\left({\tfrac {256}{81}},{\tfrac {625}{256}}\right),\ldots ,\left((1+{\tfrac {1}{n}})^{n},(1+{\tfrac {1}{n}})^{(n+1)}\right).}$

La risposta di Goldbach, del 31 gennaio 1729, contiene la soluzione generale dell'equazione, ottenuta con la sostituzione ${\displaystyle y=vx.}$ Una soluzione simile è stata trovata da Eulero.

J. van Hengel ha sottolineato che se ${\displaystyle r,n}$ sono numeri interi positivi con ${\displaystyle r\geq 3}$, allora ${\displaystyle r^{r+n}>(r+n)^{r}}$; quindi è sufficiente considerare le possibilità ${\displaystyle x=1}$ e ${\displaystyle x=2}$ per trovare soluzioni nei numeri naturali.

Il problema è stato discusso in numerose pubblicazioni. Nel 1960, l'equazione era tra le domande sulla William Lowell Putnam Competition,^[2] che spinse Alvin Hausner a estendere i risultati ai campi di numeri algebrici.^[3]

Un insieme infinito di soluzioni banali nei numeri reali positivi è dato da ${\displaystyle x=y.}$ Le soluzioni non banali possono essere scritte esplicitamente come:

${\displaystyle y=\exp {\Big [}{-W_{-1}{\Big (}-{\frac {\ln x}{x}}{\Big )}}{\Big ]},\quad \mathrm {per} \quad 1<x<e,}$

${\displaystyle y=\exp {\Big [}{-W_{0}{\Big (}-{\frac {\ln x}{x}}{\Big )}}{\Big ]},\quad \mathrm {per} \quad e<x.}$

Qui, ${\displaystyle W_{-1}}$ e ${\displaystyle W_{0}}$ rappresentano i rami negativi e principali della funzione W di Lambert.

Soluzioni non banali possono essere trovate più facilmente assumendo ${\displaystyle x\neq y}$ e ponendo ${\displaystyle y=vx.}$ Ne segue

${\displaystyle (vx)^{x}=x^{vx}=(x^{v})^{x}.}$

Elevando entrambi termini alla ${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}$ e dividendo per ${\displaystyle x}$, si ottiene

${\displaystyle v=x^{v-1}.}$

Quindi le soluzioni non banali nei reali positivi sono espresse come

${\displaystyle x=v^{1/(v-1)},}$

${\displaystyle y=v^{v/(v-1)}.}$

Ponendo ${\displaystyle v=2}$ o ${\displaystyle v={\tfrac {1}{2}}}$ si ottiene la soluzione non banale negli interi positivi: ${\displaystyle 4^{2}=2^{4}.}$

Esistono altre coppie costituite da numeri algebrici, come ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ e ${\displaystyle 3{\sqrt {3}}}$, così come ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{4}}}$ e ${\displaystyle 4{\sqrt[{3}]{4}}}$.

La parametrizzazione di cui sopra porta a una proprietà geometrica di questa curva: ${\displaystyle x^{y}=y^{x}}$ descrive la curva isoclina dove le funzioni potenza della forma ${\displaystyle x^{v}}$ hanno coefficiente angolare ${\displaystyle v^{2}}$ per una scelta reale positiva di ${\displaystyle v\neq 1}$. Per esempio, ${\displaystyle x^{8}=y}$ ha un coefficiente angolare di ${\displaystyle 8^{2}}$ nel punto ${\displaystyle ({\sqrt[{7}]{8}},{\sqrt[{7}]{8}}^{8}),}$ che è anche un punto sulla curva ${\displaystyle x^{y}=y^{x}.}$

Le soluzioni banali e non banali si intersecano quando ${\displaystyle v=1.}$ Le equazioni precedenti non possono essere calcolate direttamente, ma si può prendere il limite per ${\displaystyle v\to 1.}$ Questo è più convenientemente fatto sostituendo ${\displaystyle v=1+1/n}$ e mandando ${\displaystyle n\to \infty ,}$, così

${\displaystyle x=\lim _{v\to 1}v^{1/(v-1)}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=e.}$

Quindi, la retta ${\displaystyle y=x}$ e la curva ${\displaystyle x^{y}-y^{x}=0,}$ con ${\displaystyle y\neq x,}$ si intersecano in ${\displaystyle x=y=e.}$

Per ${\displaystyle x\to \infty }$, la soluzione non banale è asintotica alla retta ${\displaystyle y=1.}$ Una forma asintotica più completa è

${\displaystyle y=1+{\frac {\ln x}{x}}+{\frac {3}{2}}{\frac {(\ln x)^{2}}{x^{2}}}+\cdots .}$

L'equazione ${\displaystyle {\sqrt[{x}]{y}}={\sqrt[{y}]{x}}}$ ha un grafico in cui la curva ${\displaystyle {\sqrt[{x}]{y}}-{\sqrt[{y}]{x}}=0,}$ con ${\displaystyle y\neq x,}$ e la retta ${\displaystyle y=x}$ si intersecano nel punto ${\displaystyle x=y={\frac {1}{e}}}$. Inoltre la curva ${\displaystyle {\sqrt[{x}]{y}}-{\sqrt[{y}]{x}}=0,}$ con ${\displaystyle y\neq x,}$ termina in ${\displaystyle (0,1)}$ e in ${\displaystyle (1,0)}$ invece di continuare all'infinito.

La curva ${\displaystyle {\sqrt[{x}]{y}}-{\sqrt[{y}]{x}}=0,}$ con ${\displaystyle y\neq x,}$ può essere scritta esplicitamente come

${\displaystyle y=e^{W_{0}(\ln(x^{x}))},\quad \mathrm {per} \quad 0<x<1/e,}$

${\displaystyle y=e^{W_{-1}(\ln(x^{x}))},\quad \mathrm {per} \quad 1/e<x<1.}$

Questa equazione descrive la curva isoclina in cui le funzioni potenza hanno coefficiente angolare 1, analoga alla proprietà geometrica di ${\displaystyle x^{y}=y^{x}}$ descritta sopra.

L'equazione ${\displaystyle y^{y}=x^{x}}$ mostra una curva identica.

L'equazione ${\displaystyle \log _{x}(y)=\log _{y}(x)}$ ha un grafico in cui la curva ${\displaystyle \log _{x}(y)-\log _{y}(x)=0,}$ con ${\displaystyle y\neq x,}$ e la retta ${\displaystyle y=x}$ si intersecano in ${\displaystyle (1,1).}$ La curva ${\displaystyle \log _{x}(y)-\log _{y}(x)=0,}$ con ${\displaystyle y\neq x,}$ è asintotica a 0; è, infatti, il ramo nel primo quadrante dell'iperbole ${\displaystyle y={\frac {1}{x}}.}$

• Rational Solutions to x^y = y^x, su cut-the-knot.org. URL consultato l'11 dicembre 2020 (archiviato dall'url originale il 15 agosto 2021).
• x^y = y^x, su math.uni-bielefeld.de.
• dborkovitz, Parametric Graph of x^y=y^x, su geogebra.org.