Autocovarianza

In teoria della probabilità e statistica, dato un processo stocastico ${\displaystyle X=(X_{t})}$, l'autocovarianza è una funzione che dà la covarianza del processo con se stesso a coppie di punti temporali. Con la notazione usuale E  par l'operatore di aspettazione, se il processo ha la funzione di media ${\displaystyle \mu _{t}=E[X_{t}]}$, allora l'autocovarianza è data da

${\displaystyle C_{XX}(t,s)=cov(X_{t},X_{s})=E[(X_{t}-\mu _{t})(X_{s}-\mu _{s})]=E[X_{t}X_{s}]-\mu _{t}\mu _{s}.\,}$

L'autocovarianza è correlata alla più comunemente usata autocorrelazione del processo in questione.

Nel caso di un vettore casuale multivariato ${\displaystyle X=(X_{1},X_{2},...,X_{n})}$, l'autocovarianza diviene una matrice quadrata n per n, ${\displaystyle C_{XX}}$, con l'elemento ${\displaystyle i,j}$ dato da ${\displaystyle C_{X_{i}X_{j}}(t,s)=cov(X_{i,t},X_{j,s})}$ e comunemente indicata come matrice delle autocovarianze associata con i vettori ${\displaystyle X_{t}}$ e ${\displaystyle X_{s}}$.

Se X(t) è un processo debolmente stazionario, allora sono vere le seguenti uguaglianze:

${\displaystyle \mu _{t}=\mu _{s}=\mu \,}$ per ogni t, s

e

${\displaystyle C_{XX}(t,s)=C_{XX}(s-t)=C_{XX}(\tau )\,}$

dove ${\displaystyle \tau =|s-t|}$ è il tempo di ritardo o il tempo con cui il segnale è stato traslato.

Quando si normalizza l'autocovarianza C di un processo debolmente stazionario con la sua varianza, ${\displaystyle C_{XX}(0)=\sigma ^{2}}$, si ottiene il coefficiente di autocorrelazione ${\displaystyle \rho }$:^[1]

${\displaystyle \rho _{XX}(\tau )={\frac {C_{XX}(\tau )}{\sigma ^{2}}}}$

con ${\displaystyle -1\leq \rho _{XX}(\tau )\leq 1}$.

L'autocovarianza di un processo filtrato linearmente ${\displaystyle Y_{t}}$

${\displaystyle Y_{t}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }a_{k}X_{t+k}\,}$

è

${\displaystyle C_{YY}(\tau )=\sum _{k,l=-\infty }^{\infty }a_{k}a_{l}^{*}C_{XX}(\tau +k-l).\,}$

• P. G. Hoel, Mathematical Statistics, Fifth, New York, Wiley, 1984, ISBN 0-471-89045-6.
• Lecture notes on autocovariance from WHOI

• Autocorrelazione
• Covarianza (probabilità)
• Correlazione (statistica)
• Covarianza incrociata
• Correlazione incrociata