Complemento (teoria dei gruppi)

In algebra, e in particolare in teoria dei gruppi, un complemento di un sottogruppo ${\displaystyle H}$ di un gruppo ${\displaystyle G}$ è un sottogruppo ${\displaystyle K}$ di ${\displaystyle G}$ tale che

• ${\displaystyle G=HK=\{hk:h\in H,k\in K\}}$
• ${\displaystyle H\cap K=\{e_{G}\}}$

Questo equivale a dire che ogni elemento ${\displaystyle g}$ di ${\displaystyle G}$ ha un'espressione unica come prodotto ${\displaystyle g=hk}$ dove ${\displaystyle h\in H}$ e ${\displaystyle k\in K}$. Né ${\displaystyle H}$ né ${\displaystyle K}$ devono necessariamente essere sottogruppi normali di ${\displaystyle G}$.

Sia ${\displaystyle G}$ un gruppo e ${\displaystyle H,K}$ sottogruppi di ${\displaystyle G}$, se

• ${\displaystyle H\cap K=\{e_{G}\}}$,
• ${\displaystyle G=HK}$,
• ${\displaystyle H,K}$ sottogruppi normali di ${\displaystyle G}$,

allora abbiamo che ${\displaystyle G\cong H\times K}$ e dunque anche ${\displaystyle HK\cong H\times K}$.

• N.S. Gopalakrishnan, University algebra, New age international, 1986, ISBN 0-85226-338-4

• Sottogruppo normale
• Gruppo (matematica)