Differenze divise

In matematica, una differenza divisa è una quantità, definita in modo ricorsivo su punti distinti. Vengono utilizzate ad esempio nell'interpolazione polinomiale, nei metodi di interpolazione di Newton alle differenze divise e interpolazione di Hermite.

Dati ${\displaystyle k+1}$punti

${\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{k},y_{k}).}$

Definiamo le differenze divise come:

${\displaystyle [y_{\nu }]:=y_{\nu },\qquad \nu \in \{0,\ldots ,k\},}$

${\displaystyle [y_{\nu },\ldots ,y_{\nu +j}]:={\frac {[y_{\nu +1},\ldots ,y_{\nu +j}]-[y_{\nu },\ldots ,y_{\nu +j-1}]}{x_{\nu +j}-x_{\nu }}},\qquad \nu \in \{0,\ldots ,k-j\},\ j\in \{1,\ldots ,k\}.}$

Definiamo le differenze divise all'indietro come:

${\displaystyle [y_{\nu }]:=y_{\nu },\qquad \nu \in \{0,\ldots ,k\}}$

${\displaystyle [y_{\nu },\ldots ,y_{\nu -j}]:={\frac {[y_{\nu },\ldots ,y_{\nu -j+1}]-[y_{\nu -1},\ldots ,y_{\nu -j}]}{x_{\nu }-x_{\nu -j}}},\qquad \nu \in \{j,\ldots ,k\},\ j\in \{1,\ldots ,k\}.}$

dove ${\displaystyle j}$ è l'ordine della differenza divisa.

Se i punti ${\textstyle \{x_{0},x_{1},\dots ,x_{k}\}}$ vengono dati come valori di una funzione ${\displaystyle f}$:

${\displaystyle (x_{0},f(x_{0})),\ldots ,(x_{k},f(x_{k})),}$

si può trovare la notazione

${\displaystyle f[x_{\nu }]:=f(x_{\nu }),\qquad \nu \in \{0,\ldots ,k\},}$

${\displaystyle f[x_{\nu },\ldots ,x_{\nu +j}]:={\frac {f[x_{\nu +1},\ldots ,x_{\nu +j}]-f[x_{\nu },\ldots ,x_{\nu +j-1}]}{x_{\nu +j}-x_{\nu }}},\qquad \nu \in \{0,\ldots ,k-j\},\ j\in \{1,\ldots ,k\}.}$

Altre scritture equivalenti sono:

${\displaystyle [x_{0},\ldots ,x_{n}]f;}$

${\displaystyle f_{n}[x_{0},\ldots ,x_{n}];}$

${\displaystyle [x_{0},\ldots ,x_{n};f];}$

${\displaystyle D[x_{0},\ldots ,x_{n}]f.}$

Quando due argomenti risultano coincidenti possiamo ugualmente dare un significato alla corrispondente differenza divisa di ordine ${\displaystyle 1}$, purché ${\displaystyle f'(x)}$ esista in quel punto^[1]:

${\displaystyle f[x_{0},x_{0}]=\lim _{x\to x_{0}}f[x_{0},x]=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=f'(x_{0}).}$

Più in generale, definiamo

${\displaystyle f[\underbrace {x_{0},x_{0},\dots ,x_{0}} _{k+1}]={\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}},}$

la cui esistenza è dimostrabile^[2].

Differenze divise per ${\displaystyle \nu =0}$ e i primi valori di ${\displaystyle j}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathopen {[}}y_{0}]&=y_{0};\\{\mathopen {[}}y_{0},y_{1}]&={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}};\\{\mathopen {[}}y_{0},y_{1},y_{2}]&={\frac {[y_{1},y_{2}]-[y_{0},y_{1}]}{x_{2}-x_{0}}}={\frac {{\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}-{\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}}{x_{2}-x_{0}}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{(x_{2}-x_{1})(x_{2}-x_{0})}}-{\frac {y_{1}-y_{0}}{(x_{1}-x_{0})(x_{2}-x_{0})}};\\{\mathopen {[}}y_{0},y_{1},y_{2},y_{3}]&={\frac {[y_{1},y_{2},y_{3}]-[y_{0},y_{1},y_{2}]}{x_{3}-x_{0}}}.\end{aligned}}}$

Per evidenziare il processo ricorsivo, le differenze divise possono essere messe in forma tabellare

${\displaystyle {\begin{matrix}x_{0}&y_{0}=[y_{0}]&&&\\&&[y_{0},y_{1}]&&\\x_{1}&y_{1}=[y_{1}]&&[y_{0},y_{1},y_{2}]&\\&&[y_{1},y_{2}]&&[y_{0},y_{1},y_{2},y_{3}]\\x_{2}&y_{2}=[y_{2}]&&[y_{1},y_{2},y_{3}]&\\&&[y_{2},y_{3}]&&\\x_{3}&y_{3}=[y_{3}]&&&\\\end{matrix}}}$

Data una funzione ${\displaystyle f}$, presi due punti ${\displaystyle (x_{0},f(x_{0})),(x_{1},f(x_{1}))}$, la differenza divisa di ordine ${\displaystyle 1}$:

${\displaystyle A_{1}=f[x_{0},x_{1}]={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}={\frac {\Delta f}{\Delta x}}}$

è il rapporto incrementale costruito su due punti per la quantità ${\displaystyle h=x_{1}-x_{0}}$.

Per induzione matematica, non è difficile dimostrare che

${\displaystyle f[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f(x_{k})}{\prod _{j=0,\ j\neq k}^{n}{(x_{k}-x_{j})}}}.}$

Questa espressione ci permette di affermare che ${\displaystyle f[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]}$ è una funzione invariante a permutazione dei suoi argomenti, cioè

${\displaystyle f[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]=f[x_{i_{0}},x_{i_{1}},\dots ,x_{i_{n}}],}$

dove ${\textstyle (i_{0},i_{1},\dots ,i_{n})}$ denota una qualsiasi permutazione di ${\textstyle (0,1,\dots ,n)}$^[1].

• Monegato, Giovanni., Metodi e algoritmi per il calcolo numerico, Clut, [2008], ISBN 9788879922654, OCLC 956017867. URL consultato il 29 aprile 2019.