Dimostrazione della irrazionalità di π

Sono state date molte dimostrazioni dell'irrazionalità di pi greco, di queste alcune a opera di Johann Heinrich Lambert, Adrien-Marie Legendre e Niven.

Si dimostra che ${\displaystyle \pi ^{2}}$ è irrazionale.

Sia ${\displaystyle n}$ un intero positivo, definiamo ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ come

${\displaystyle f(x):={\frac {x^{n}(1-x)^{n}}{n!}}={\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}(-1)^{k}x^{n+k},}$

dove l'ultimo membro segue dal teorema binomiale. Poiché ${\displaystyle f(x)}$ è un polinomio di ${\displaystyle 2n}$-esimo grado di ${\displaystyle x}$ sarà ${\displaystyle f^{(m)}(x)=0}$ per ogni ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ e per ogni intero ${\displaystyle m>2n.}$ Inoltre ${\displaystyle f^{(m)}(0)=0}$ per ogni ${\displaystyle m<n}$ poiché il minimo esponente con cui compare ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle f(x)}$ è ${\displaystyle n.}$

Se ${\displaystyle m\in \{n,n+1,\dots ,2n\}}$ si ha d'altra parte:

${\displaystyle f^{(m)}(x)={\frac {1}{n!}}\sum _{k=m-n}^{n}{n \choose k}{\frac {(n+k)!}{(n+k-m)!}}(-1)^{k}x^{n+k-m},}$

per cui per ogni ${\displaystyle m\in \{n,n+1,\dots ,2n\}}$ abbiamo che

${\displaystyle f^{(m)}(0)={\frac {1}{n!}}{{n} \choose {m-n}}m!(-1)^{m-n}\in \mathbb {Z} .}$

Queste considerazioni mostrano che ${\displaystyle f^{(m)}(0)\in \mathbb {Z} }$ per ogni ${\displaystyle m\in \mathbb {N} .}$ Da cui, essendo ${\displaystyle f(1-x)=f(x),}$ abbiamo anche ${\displaystyle f^{(m)}(1)\in \mathbb {Z} .}$

Supponiamo ora, per assurdo, che esistano due interi positivi ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ tali che ${\displaystyle \pi ^{2}={\frac {a}{b}}.}$ Definiamo ${\displaystyle F_{n}\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ come:

${\displaystyle F_{n}(x):=b^{n}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\pi ^{2(n-k)}f^{(2k)}(x).}$

Per quanto detto prima ${\displaystyle F_{n}(0)}$ e ${\displaystyle F_{n}(1)}$ sono interi. Inoltre, ricordando che ${\displaystyle f^{(2n+2)}(x)=0,}$ abbiamo:

${\displaystyle F_{n}^{(2)}(x)+\pi ^{2}F_{n}(x)=b^{n}\left[\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\pi ^{2(n-k)}f^{(2k+2)}(x)+\pi ^{2}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\pi ^{2(n-k)}f^{(2k)}(x)\right]=}$

${\displaystyle =b^{n}\left[-\pi ^{2}\sum _{h=1}^{n+1}(-1)^{h}\pi ^{2(n-h)}f^{(2h)}(x)+\pi ^{2}\sum _{h=0}^{n}(-1)^{h}\pi ^{2(n-h)}f^{(2h)}(x)\right]=b^{n}\pi ^{2(n+1)}f(x)=a^{n}\pi ^{2}f(x).}$

Da questi calcoli segue che:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[F_{n}^{(1)}(x)\sin(\pi x)-\pi F_{n}(x)\cos(\pi x)\right]=\pi ^{2}a^{n}f(x)\sin(\pi x).}$

Si ha quindi:

${\displaystyle \pi a^{n}\int _{0}^{1}f(x)\sin(\pi x)dx={\frac {1}{\pi }}\left[F_{n}^{(1)}(x)\sin(\pi x)-\pi F_{n}(x)\cos(\pi x)\right]_{0}^{1}=F_{n}(1)+F_{n}(0)\in \mathbb {Z} .}$

Poiché per ogni ${\displaystyle x\in (0,1)}$ abbiamo che ${\displaystyle x^{n}(1-x)^{n}\in (0,1),}$ otteniamo che

${\displaystyle 0<f(x)<{\frac {1}{n!}}.}$

Quindi

${\displaystyle \pi a^{n}\int _{0}^{1}f(x)\sin(\pi x)dx\in \left(0,{\frac {\pi a^{n}}{n!}}\right)\cap \mathbb {Z} .}$

D'altra parte,

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }{\frac {\pi a^{n}}{n!}}=0,}$

quindi, per ${\displaystyle n}$ sufficientemente grande,

${\displaystyle \left(0,{\frac {\pi a^{n}}{n!}}\right)\subset (0,1).}$

Abbiamo quindi trovato che

${\displaystyle \pi a^{n}\int _{0}^{1}f(x)\sin(\pi x)dx\in (0,1)\cap \mathbb {Z} .}$

Ma non esistono interi nell'intervallo ${\displaystyle (0,1)}$, quindi abbiamo raggiunto un assurdo. Questo mostra che ${\displaystyle \pi ^{2}}$ (e quindi anche ${\displaystyle \pi }$) è irrazionale.

• Prime 100.000 cifre del numero irrazionale Pi greco
• Dimostrazione che 22/7 è maggiore di π