Insieme localmente chiuso

In matematica, un sottoinsieme ${\displaystyle S}$ di uno spazio topologico ${\displaystyle (X,\mathrm {T} )}$ si dice localmente chiuso se soddisfa le seguenti condizioni equivalenti:

• ${\displaystyle S}$ è aperto nella sua chiusura;
• ${\displaystyle S}$ è aperto in un chiuso di ${\displaystyle X}$;
• ${\displaystyle S}$ è chiuso in un aperto di ${\displaystyle X}$;
• per ogni punto ${\displaystyle x}$ di ${\displaystyle S}$ esiste un intorno aperto ${\displaystyle U}$ di x tale che ${\displaystyle S\cap U}$ è chiuso in ${\displaystyle U}$;
• ${\displaystyle S}$ è intersezione di un aperto e un chiuso di ${\displaystyle X}$.

Se ${\displaystyle S}$ è un sottoinsieme localmente chiuso di ${\displaystyle X}$, allora l'insieme ${\displaystyle \Omega =(X\setminus {\bar {S}})\cup S}$ è il più grande aperto di ${\displaystyle X}$ in cui ${\displaystyle S}$ è chiuso. Infatti, se ${\displaystyle A}$ è un altro aperto in cui ${\displaystyle S}$ è chiuso risulta ${\displaystyle S={\bar {S}}\cap A}$ e quindi ${\displaystyle \Omega =(X\setminus {\bar {S}})\cup ({\bar {S}}\cap A)=((X\setminus {\bar {S}})\cup {\bar {S}}))\cap ((X\setminus {\bar {S}})\cup A)=(X\setminus {\bar {S}})\cup A}$ per cui ${\displaystyle \Omega }$ è aperto e ${\displaystyle A\subseteq \Omega }$.

• Nella retta reale, l'intervallo [0, 1) è localmente chiuso, in quanto intersezione dell'aperto (-a, 1) e del chiuso [0, 1+a] (con a>0).
• Il sottoinsieme ${\displaystyle A=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y>0,\ x^{2}+y^{2}\leq 1\}\cup \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y\leq 0,\ x^{2}+y^{2}<1\}}$ di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ munito della usuale topologia euclidea è localmente chiuso.
• Ogni sottovarietà differenziabile di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ è uno spazio localmente chiuso.

• Insieme aperto
• Insieme chiuso
• Chiusura (topologia) di un insieme
• Intorno topologico.