Fattoriale crescente

In matematica, per fattoriale crescente o decrescente di ${\displaystyle x}$ con ${\displaystyle n}$ fattori si intende, rispettivamente un prodotto della forma

${\displaystyle x(x+1)(x+2)\cdots (x+k-1)=\prod _{j=0}^{k-1}(x+j)\qquad }$ (${\displaystyle k}$ fattori crescenti inizianti da ${\displaystyle x}$);

${\displaystyle x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)=\prod _{j=0}^{k-1}(x-j)\qquad }$ (${\displaystyle k}$ fattori decrescenti inizianti da ${\displaystyle x}$).^[1]

Qui ${\displaystyle k}$ denota un intero naturale, mentre ${\displaystyle x}$ può denotare un numero reale o complesso, oppure una variabile formale o anche un elemento generico di un anello (in tal caso gli interi si identificano con i multipli dell'elemento unità dell'anello).

Utilizzando una delle notazioni utilizzata abbiamo^[2]:

${\displaystyle x^{\overline {k}}:=x(x+1)(x+2)\cdots (x+k-1),\qquad }$ fattoriale crescente;

${\displaystyle x^{\underline {k}}:=x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1),\qquad }$ fattoriale decrescente.

Esistono anche notazioni alternative da utilizzare con cautela perché diversamente interpretate da diversi autori come la notazione ${\displaystyle (x)_{n}}$ detta simbolo di Pochhammer^[1] usata da alcuni per il fattoriale decrescente^[3] da altri per quello crescente.

Per ${\displaystyle k=0}$ fattoriale crescente e fattoriale decrescente danno il prodotto vuoto, cioè

${\displaystyle x^{\overline {0}}=x^{\underline {0}}=1.}$

Nel caso ${\displaystyle x=n}$ numero intero non negativo^[4], con riferimento a simboli comunemente usati nel calcolo combinatorio, si ha:

${\displaystyle n^{\overline {k}}={\frac {(n+k-1)!}{(n-1)!}}=D_{n+k-1,k}\qquad }$ (disposizioni senza ripetizione);

${\displaystyle n^{\underline {k}}={\frac {n!}{(n-k+1)!}}=D_{n,k}\qquad }$ (disposizioni senza ripetizione);

${\displaystyle C_{n,k}={\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}\qquad }$ (combinazioni senza ripetizioni);

${\displaystyle C'_{n,k}={\frac {n^{\overline {k}}}{k!}}\qquad }$ (combinazioni con ripetizioni).

Iniziando dai polinomi di primo grado i primi cinque casi del fattoriale decrescente sono:

${\displaystyle x^{\underline {1}}=x;}$

${\displaystyle x^{\underline {2}}=x(x-1)=x^{2}-x;}$

${\displaystyle x^{\underline {3}}=x(x-1)(x-2)=x^{3}-3x^{2}+2x;}$

${\displaystyle x^{\underline {4}}=x(x-1)(x-2)(x-3)=x^{4}-6x^{3}+11x^{2}-6x;}$

${\displaystyle x^{\underline {5}}=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=x^{5}-10x^{4}+35x^{3}-50x+24.}$

I primi cinque di quello crescente sono:

${\displaystyle x^{\overline {1}}=x;}$

${\displaystyle x^{\overline {2}}=x(x+1)=x^{2}+x;}$

${\displaystyle x^{\overline {3}}=x(x+1)(x+2)=x^{3}+3x^{2}+2x;}$

${\displaystyle x^{\overline {4}}=x(x+1)(x+2)(x+3)=x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x;}$

${\displaystyle x^{\overline {5}}=x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=x^{5}+10x^{4}+35x^{3}+50x+24.}$

Utilizzando vettori e matrici possiamo esprimere i due casi precedenti scrivendo:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x^{\underline {1}}\\x^{\underline {2}}\\x^{\underline {3}}\\x^{\underline {4}}\\x^{\underline {5}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\-1&1&0&0&0\\2&-3&1&0&0\\-6&11&-6&1&0\\24&-50&35&-10&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\x^{2}\\x^{3}\\x^{4}\\x^{5}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x^{\overline {1}}\\x^{\overline {2}}\\x^{\overline {3}}\\x^{\overline {4}}\\x^{\overline {5}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\1&1&0&0&0\\2&3&1&0&0\\6&11&6&1&0\\24&50&35&10&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\x^{2}\\x^{3}\\x^{4}\\x^{5}\end{pmatrix}}.}$

Esplicitando il secondo vettore attraverso le matrici inverse si ottiene:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\x^{2}\\x^{3}\\x^{4}\\x^{5}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\1&1&0&0&0\\1&3&1&0&0\\1&7&6&1&0\\1&15&25&10&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x^{\underline {1}}\\x^{\underline {2}}\\x^{\underline {3}}\\x^{\underline {4}}\\x^{\underline {5}}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\x^{2}\\x^{3}\\x^{4}\\x^{5}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\-1&1&0&0&0\\1&-3&1&0&0\\-1&7&-6&1&0\\1&-15&25&-10&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x^{\overline {1}}\\x^{\overline {2}}\\x^{\overline {3}}\\x^{\overline {4}}\\x^{\overline {5}}\end{pmatrix}}.}$

Le matrici dell'esempio, facilmente generalizzabile ad un qualsiasi numero di polinomi, contengono i numeri di Stirling di prima e seconda specie, alternati e no. Gli elementi di questi quattro triangoli di Stirling si possono ottenere con regole ricorsive simili a quella di Stiffel relativa al triangolo di Tartaglia ^[3]

I fattoriali crescenti e i fattoriali decrescenti possono essere interpretati come polinomi nella variabile ${\displaystyle x}$ e le due successioni ${\displaystyle x^{\overline {n}},}$ per ${\displaystyle n=0,1,2,\ldots ,}$ e ${\displaystyle x^{\underline {n}},}$ per ${\displaystyle n=0,1,2,\ldots ,}$ come successioni di polinomi. Questi hanno ruoli particolari nelle formule che riguardano l'azione sui polinomi di operatori come l'operatore alle differenze in avanti ${\displaystyle \Delta }$, formule corrispondenti al teorema di Taylor del calcolo infinitesimale indotta dall'azione dell'operatore derivazione. In queste formule e in molte altre circostanze i fattoriali crescenti e i decrescenti nel calcolo delle differenze finite giocano il ruolo che i polinomi ${\displaystyle x^{n}}$ giocano nel calcolo differenziale. Si osservi ad esempio la somiglianza fra la

${\displaystyle \Delta x^{\underline {k}}=kx^{\underline {k-1}},}$

e la

${\displaystyle Dx^{k}=kx^{k-1},}$

dove ${\displaystyle D}$ denota la derivata rispetto alla variabile ${\displaystyle x}$. La teoria che consente di trattare sistematicamente e rigorosamente queste somiglianze è l'odierno calcolo umbrale. Più specificamente le teorie che riguardano relazioni di questo genere coinvolgenti polinomi come i fattoriali crescenti e i decrescenti sono la teoria delle sequenze polinomiali di tipo binomiale e la teoria delle successioni di Sheffer.

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