Funzione rettangolo

In matematica, la funzione rettangolo, o funzione porta, è una funzione speciale di variabile reale, molto usata in teoria dei segnali, la cui definizione avviene nel modo seguente:

${\displaystyle \mathrm {rect} (t)={\begin{cases}0&{\mbox{se }}|t|>{\frac {1}{2}}\\[3pt]{\frac {1}{2}}&{\mbox{se }}|t|={\frac {1}{2}}\\[3pt]1&{\mbox{se }}|t|<{\frac {1}{2}}.\end{cases}}}$

È un caso particolare della "funzione carro merci", o funzione boxcar.

In generale, con

${\displaystyle \mathrm {rect} \left({\frac {x-x_{0}}{\Delta }}\right)}$

si intende la funzione rettangolo il cui centro è ${\displaystyle x_{0}}$ e la cui durata è ${\displaystyle \Delta }$. Di conseguenza,

${\displaystyle \mathrm {rect} \left({\frac {x-1}{2}}\right)}$

è la funzione rettangolo centrata in 1 e di durata 2.^[1]

La trasformata di Fourier della funzione rettangolo è la funzione sinc:

${\displaystyle {\mathcal {F}}[\mathrm {rect} ](\omega )=\int _{\mathbb {R} }e^{-i\,t\,\omega }\,\mathrm {rect} (t)\,dt={\frac {\sin(\omega /2)}{\omega /2}}=\mathrm {sinc} \left({\frac {\omega }{2\,\pi }}\right)}$

Si dimostra che vale

${\displaystyle \mathrm {tri} (t)=\mathrm {rect} (t)\ast \mathrm {rect} (t)}$

dove ${\displaystyle \mathrm {tri} }$ è la funzione triangolo ed il simbolo ${\displaystyle *}$ denota la convoluzione.

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• (EN) Eric W. Weisstein, Rectangle Function, su MathWorld, Wolfram Research.