Tre primitive della funzione
f
(
x
)
=
x
2
−
x
−
1
{\displaystyle f(x)=x^{2}-x-1}
In analisi matematica , si dice primitiva o antiderivata di una funzione
f
{\displaystyle f}
F
{\displaystyle F}
derivata è uguale alla funzione di partenza. Denotando con l'apice la derivata,
F
′
(
x
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle F'(x)=f(x)}
f
{\displaystyle f}
integrale indefinito di
f
{\displaystyle f}
[ 1] integrali definiti dal teorema fondamentale del calcolo integrale : infatti, l'integrale di una funzione, se esiste, è uguale alla differenza dei valori della primitiva sugli estremi di integrazione.[ 2]
Definizione
Data una funzione
f
:
I
→
R
{\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }
intervallo
I
⊂
R
{\displaystyle I\subset \mathbb {R} }
F
:
I
→
R
{\displaystyle F\colon I\to \mathbb {R} }
F
′
(
x
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle F'(x)=f(x)}
per ogni
x
∈
I
{\displaystyle x\in I}
Se
F
{\displaystyle F}
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
F
(
x
)
+
C
{\displaystyle F(x)+C}
C
{\displaystyle C}
L'integrale indefinito di
f
{\displaystyle f}
∫
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int f(x)dx}
e se
F
{\displaystyle F}
f
{\displaystyle f}
∫
f
(
x
)
d
x
=
F
(
x
)
+
C
{\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C}
al variare di
C
∈
R
{\displaystyle C\in \mathbb {R} }
[ 1]
Principali primitive
Un metodo spesso utilizzato per calcolare le primitive di una funzione razionale è la decomposizione in fratti semplici . Per gli altri casi, alcune primitive molto frequenti sono esposte nel seguito:
∫
x
a
d
x
=
x
a
+
1
a
+
1
+
C
{\displaystyle \int {x^{a}\,\mathrm {d} x}={\frac {x^{a+1}}{a+1}}+C\,\ }
con
a
≠
−
1
{\displaystyle a\neq -1\,\ }
∫
1
x
d
x
=
ln
|
x
|
+
C
{\displaystyle \int {{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x}=\ln {|x|}+C\,\ }
∫
e
x
d
x
=
e
x
+
C
{\displaystyle \int {\mathrm {e} ^{x}}\,\mathrm {d} x=\mathrm {e} ^{x}+C\,\ }
∫
a
x
d
x
=
a
x
ln
a
+
C
{\displaystyle \int {a^{x}}\,\mathrm {d} x={\frac {a^{x}}{\ln {a}}}+C\,\ }
con
a
>
0
{\displaystyle a>0\,\ }
a
≠
1
{\displaystyle a\neq 1\,\ }
∫
sin
x
d
x
=
−
cos
x
+
C
{\displaystyle \int {\sin {x}}\,\mathrm {d} x=-\cos {x}+C\,\ }
∫
cos
x
d
x
=
sin
x
+
C
{\displaystyle \int {\cos {x}}\,\mathrm {d} x=\sin {x}+C\,\ }
∫
tan
x
d
x
=
−
ln
|
cos
x
|
+
C
{\displaystyle \int {\tan {x}\,\mathrm {d} x}=-\ln {|\cos {x}|}+C\,\ }
∫
cot
x
d
x
=
ln
|
sin
x
|
+
C
{\displaystyle \int {\cot {x}}\,\mathrm {d} x=\ln {|\sin {x}|}+C\,\ }
∫
sinh
x
d
x
=
cosh
x
+
C
{\displaystyle \int {\sinh {x}}\,\mathrm {d} x=\cosh {x}+C\,\ }
∫
cosh
x
d
x
=
sinh
x
+
C
{\displaystyle \int {\cosh {x}}\,\mathrm {d} x=\sinh {x}+C\,\ }
∫
tanh
x
d
x
=
ln
(
cosh
x
)
+
C
{\displaystyle \int {\tanh {x}}\,\mathrm {d} x=\ln {(\cosh {x})}+C\,\ }
∫
coth
x
d
x
=
ln
|
(
sinh
x
)
|
+
C
{\displaystyle \int {\coth {x}}\,\mathrm {d} x=\ln {|(\sinh {x})|}+C\,\ }
∫
1
(
cos
x
)
2
d
x
=
tan
x
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{(\cos {x})^{2}}}\,\mathrm {d} x=\tan {x}+C\,\ }
∫
1
(
sin
x
)
2
d
x
=
−
cot
x
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{(\sin {x})^{2}}}\,\mathrm {d} x=-\cot {x}+C\,\ }
∫
1
(
cosh
x
)
2
d
x
=
tanh
x
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{(\cosh {x})^{2}}}\,\mathrm {d} x=\tanh {x}+C\,\ }
∫
1
(
sinh
x
)
2
d
x
=
−
coth
x
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{(\sinh {x})^{2}}}\,\mathrm {d} x=-\coth {x}+C\,\ }
∫
1
1
+
x
2
d
x
=
arctan
x
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{1+x^{2}}}\,\mathrm {d} x=\arctan {x}+C\,\ }
∫
1
1
−
x
2
d
x
=
1
2
ln
x
+
1
x
−
1
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}}+C\,\ }
con
|
x
|
>
1
{\displaystyle |x|>1\,\ }
∫
1
1
−
x
2
d
x
=
arcsin
x
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt[{}]{1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=\arcsin {x}+C\,\ }
∫
1
1
+
x
2
d
x
=
ln
|
x
+
1
+
x
2
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt[{}]{1+x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=\ln {|x+{\sqrt[{}]{1+x^{2}}}|}+C\,\ }
∫
1
x
2
−
1
d
x
=
ln
|
x
+
x
2
−
1
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt[{}]{x^{2}-1}}}\,\mathrm {d} x=\ln {|x+{\sqrt[{}]{x^{2}-1}}|}+C\,\ }
con
|
x
|
>
1
{\displaystyle |x|>1\,\ }
Note
Bibliografia
Paolo Maurizio Soardi, Analisi Matematica , CittàStudi, 2007, ISBN 978-88-251-7319-2. (EN Introduction to Classical Real Analysis , by Karl R. Stromberg; Wadsworth, 1981 (see also )
(EN Historical Essay On Continuity Of Derivatives , by Dave L. Renfro;
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![{\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt[{}]{1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=\arcsin {x}+C\,\ }](./92f629d676a1fb50c43ad58749839ca53b1dd4b8.svg)
![{\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt[{}]{1+x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=\ln {|x+{\sqrt[{}]{1+x^{2}}}|}+C\,\ }](./82b068d2b0e68e9d7ca0fc7210088a6a6fc0cb72.svg)
![{\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt[{}]{x^{2}-1}}}\,\mathrm {d} x=\ln {|x+{\sqrt[{}]{x^{2}-1}}|}+C\,\ }](./7f2c216760bfdac68b25d1fad254a8a3df5f1792.svg)
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