Inverso destro e sinistro

In matematica e in particolare in algebra astratta, dato un magma ${\displaystyle (X,\cdot )}$ con elemento neutro ${\displaystyle 1,}$ per ogni elemento ${\displaystyle x\in X}$ è possibile definire inverso destro di ${\displaystyle x}$ un elemento ${\displaystyle d_{x}\in X}$ tale che ${\displaystyle x\cdot d_{x}=1}$ e inverso sinistro di ${\displaystyle x}$ un elemento ${\displaystyle s_{x}\in X}$ tale che ${\displaystyle s_{x}\cdot x=1.}$

Se l'operazione binaria ${\displaystyle \cdot }$ è associativa, allora si ha che:

• L'inverso destro e l'inverso sinistro di ${\displaystyle x,}$ se esistono, coincidono. Infatti ${\displaystyle s_{x}=s_{x}\cdot 1=s_{x}\cdot (x\cdot d_{x})=(s_{x}\cdot x)\cdot d_{x}=1\cdot d_{x}=d_{x}.}$
• L'inverso di ${\displaystyle x,}$ se esiste, è unico. Infatti, siano ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ due inversi dell'elemento ${\displaystyle x,}$ allora ${\displaystyle a=a\cdot 1=a\cdot (x\cdot b)=(a\cdot x)\cdot b=1\cdot b=b.}$ Si indica allora l'unico elemento inverso di ${\displaystyle x}$ con ${\displaystyle x^{-1}.}$
• L'elemento ${\displaystyle x}$ è l'inverso di ${\displaystyle x^{-1}}$ (segue dalla definizione di inverso).
• Ogni elemento commuta con il suo inverso. Infatti, ${\displaystyle x\cdot x^{-1}=1=x^{-1}\cdot x.}$
• L'inverso dell'inverso è l'elemento stesso. Infatti, sia ${\displaystyle x}$ che ${\displaystyle (x^{-1})^{-1}}$ sono inversi di ${\displaystyle x^{-1}}$. Allora, per l'unicità dell'inverso, abbiamo che ${\displaystyle x=(x^{-1})^{-1}.}$
• Se ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ hanno un inverso, allora l'inverso di ${\displaystyle x\cdot y}$ è ${\displaystyle y^{-1}\cdot x^{-1}.}$ Infatti, ${\displaystyle (x\cdot y)\cdot (y^{-1}\cdot x^{-1})=x\cdot (y\cdot y^{-1})\cdot x^{-1}=x\cdot 1\cdot x^{-1}=x\cdot x^{-1}=1.}$