Limite notevole

Sono qui presentati alcuni limiti notevoli utilizzati per una risoluzione più veloce di limiti che possono sembrare poco immediati. Tali limiti sono anche usati nell'applicazione del principio di sostituzione degli infinitesimi equivalenti.

• ${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }{\frac {a_{0}x^{k}+a_{1}x^{k-1}+...+a_{k}}{b_{0}x^{r}+b_{1}x^{r-1}+...+b_{r}}}=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {sgn}[{a_{o} \over b_{0}}]\cdot (\pm 1)^{(k-r)}\cdot \infty ,&{\mbox{se }}k>r\\{\frac {a_{0}}{b_{0}}},&{\mbox{se }}k=r\\0,&{\mbox{se }}k<r\end{matrix}}\right.}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {(1+x)^{a}-1}{x}}=a,\;\;a\in \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(ax)}{bx}}={\frac {a}{b}}}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos(x)}{x}}=0}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos(x)}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\tan(x)}{x}}=1}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\arcsin(x)}{x}}=1}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\arctan(x)}{x}}=1}$

La dimostrazione di questo limite è analoga alla precedente.

• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }a^{x}=+\infty \quad {\text{se}}\quad a>1}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }a^{x}=0\quad {\text{se}}\quad 0<a<1}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }a^{x}=0\quad {\text{se}}\quad a>1}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }a^{x}=+\infty \quad {\text{se}}\quad 0<a<1}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{se}}\quad a>1}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=+\infty \quad {\mbox{se}}\quad 0<a<1}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\log _{a}x=+\infty \quad {\mbox{se}}\quad a>1}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{se}}\quad 0<a<1}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }{\left(1+{\frac {1}{x}}\right)}^{x}\!=e}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }{\left(1+{\frac {a}{x}}\right)}^{bx}\!=e^{ab}}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }{\left({\frac {x}{x+1}}\right)}^{x}\!={\frac {1}{e}}}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\left(1+ax\right)}^{\frac {1}{x}}\!=e^{a}}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\log _{a}(1+x)}{x}}=\log _{a}e={\frac {1}{\ln a}}}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}\!=1}$

Deriva direttamente dal limite precedente sostituendo ${\displaystyle a}$ con ${\displaystyle e}$ (quindi ${\displaystyle \log _{a}}$ diventa ${\displaystyle \ln }$ e ${\displaystyle \ln e=1}$).

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {a^{x}-1}{x}}=\ln a,\;\;a>0}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}=1}$

Deriva direttamente dal limite precedente sostituendo ${\displaystyle a}$ con ${\displaystyle e}$ (quindi ${\displaystyle \ln a}$ diventa ${\displaystyle \ln e=1}$).