Quantizzazione del momento angolare

La quantizzazione del momento angolare rappresenta uno dei risultati fondamentali della meccanica quantistica e ha una enorme portata nella trattazione dei principali problemi di fisica delle particelle, oltre che condurre alla predizione dell'esistenza dello spin.

In meccanica quantistica il momento angolare è un'osservabile, quindi è rappresentato da un operatore hermitiano che chiamiamo ${\displaystyle {\vec {L}}}$.

In meccanica classica la definizione di momento angolare è la seguente:

${\displaystyle {\vec {L}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}}$

dove ${\displaystyle {\vec {r}}}$ e ${\displaystyle {\vec {p}}}$ sono rispettivamente il vettore posizione e quantità di moto o momento lineare. Attraverso il principio di corrispondenza è possibile definire il momento angolare in meccanica quantistica come:

${\displaystyle {\vec {L}}={\vec {r}}\times (-i\hbar {\vec {\nabla }})}$

da cui si possono esplicitare le componenti nel modo seguente:

${\displaystyle L_{x}=-i\hbar \left(y{\frac {\partial }{\partial z}}-z{\frac {\partial }{\partial y}}\right)}$

${\displaystyle L_{y}=-i\hbar \left(z{\frac {\partial }{\partial x}}-x{\frac {\partial }{\partial z}}\right)}$

${\displaystyle L_{z}=-i\hbar \left(x{\frac {\partial }{\partial y}}-y{\frac {\partial }{\partial x}}\right)}$

Osserviamo immediatamente che ${\displaystyle L_{x},L_{y},L_{z}}$ sono operatori hermitiani, infatti sono combinazioni lineari di operatori hermitiani tra loro commutanti (posizione e impulso riferiti a coordinate diverse, ad esempio ${\displaystyle y}$ e ${\displaystyle p_{x}}$, commutano).

1.In generale vale la relazione

${\displaystyle [L_{i},L_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}L_{k}}$

dove ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$ è il simbolo di Levi-Civita. Dimostriamo tale relazione nel seguente caso particolare:

${\displaystyle [L_{x},L_{y}]=[(yp_{z}-zp_{y}),(zp_{x}-xp_{z})]\,\!=}$

${\displaystyle =[yp_{z},zp_{x}]-[yp_{z},xp_{z}]-[zp_{y},zp_{x}]+[zp_{y},xp_{z}]\,\!=}$

${\displaystyle =[yp_{z},zp_{x}]+[zp_{y},xp_{z}]\,\!=}$

${\displaystyle =yp_{x}[p_{z},z]+p_{y}x[z,p_{z}]\,\!=}$

${\displaystyle =-i\hbar yp_{x}+i\hbar p_{y}x=}$

${\displaystyle =i\hbar (xp_{y}-yp_{x})=i\hbar L_{z}}$

2.Vale inoltre:

${\displaystyle [L^{2},L_{i}]\,\!=0}$

dove l'indice i può essere x, y oppure z. Dimostriamo il caso particolare

${\displaystyle [L^{2},L_{z}]\,\!=0}$

infatti:

${\displaystyle [{L_{x}}^{2}+{L_{y}}^{2}+{L_{z}}^{2},L_{z}]=[{L_{x}}^{2}+{L_{y}}^{2},L_{z}]=}$

${\displaystyle [{L_{x}}^{2},L_{z}]+[{L_{y}}^{2},L_{z}]={L_{x}}^{2}L_{z}-L_{z}{L_{x}}^{2}+{L_{y}}^{2}L_{z}-L_{z}{L_{y}}^{2}=}$

Sommiamo e sottraiamo:${\displaystyle L_{x}L_{z}L_{x}}$ e ${\displaystyle L_{y}L_{z}L_{y}}$

${\displaystyle {L_{x}}^{2}L_{z}-L_{x}L_{z}L_{x}+L_{x}L_{z}L_{x}+{L_{y}}^{2}L_{z}-L_{z}{L_{x}}^{2}-L_{y}L_{z}L_{y}+L_{y}L_{z}L_{y}-L_{z}{L_{y}}^{2}=}$

${\displaystyle L_{x}(L_{x}L_{z}-L_{z}L_{x})+(L_{x}L_{z}-L_{z}L_{x})L_{x}+L_{y}(L_{y}L_{z}-L_{z}L_{y})+(L_{y}L_{z}-L_{z}L_{y})L_{y}=}$

${\displaystyle L_{x}[L_{x},L_{z}]+[L_{x},L_{z}]L_{x}+L_{y}[L_{y},L_{z}]+[L_{y},L_{z}]L_{y}=}$

${\displaystyle L_{x}(-i\hbar L_{y})+(-i\hbar L_{y})L_{x}+L_{y}(i\hbar L_{x})+(i\hbar L_{x})L_{y}=0}$

Da 1. si conclude che l'algebra delle componenti del momento angolare è non commutativa.

Da 2. si conclude che gli operatori ${\displaystyle L^{2}}$ e ${\displaystyle L_{z}}$ diagonalizzano nello stesso sistema ortonormale completo di stati.

Per affrontare il problema dell'equazione agli autovalori è conveniente utilizzare la notazione bra-ket creata da Dirac. Si cercano dunque gli autoket simultanei degli operatori ${\displaystyle L^{2}}$ e ${\displaystyle L_{z}}$.

${\displaystyle L^{2}|\lambda m\rangle =\lambda \hbar ^{2}|\lambda m\rangle }$

${\displaystyle L_{z}|\lambda m\rangle =m\hbar |\lambda m\rangle }$

Si introducono a questo punto dei nuovi operatori, detti operatori scala:

${\displaystyle L_{+}=L_{x}+iL_{y}\qquad L_{-}=L_{x}-iL_{y}}$

1. ${\displaystyle L^{2}}$ commuta sia con ${\displaystyle L_{x}}$ che con ${\displaystyle L_{y}}$ e quindi commuta anche con ${\displaystyle L_{\pm }}$;
2. Se ${\displaystyle |\lambda m\rangle }$ è un autovettore di ${\displaystyle L^{2}}$ appartenente all'autovalore ${\displaystyle \lambda \hbar ^{2}}$, ${\displaystyle L_{+}|\lambda m\rangle }$ e ${\displaystyle L_{-}|\lambda m\rangle }$ sono autovettori appartenenti allo stesso autovalore ${\displaystyle \lambda \hbar ^{2}}$:

${\displaystyle L^{2}L_{+}|\lambda m\rangle =\lambda \hbar ^{2}L_{+}|\lambda m\rangle }$

${\displaystyle L^{2}L_{-}|\lambda m\rangle =\lambda \hbar ^{2}L_{-}|\lambda m\rangle }$

1. ${\displaystyle L_{+}|\lambda m\rangle }$ è anche autovettore di ${\displaystyle L_{z}}$ ma appartenente all'autovalore ${\displaystyle (m+1)\hbar }$, così come ${\displaystyle L_{-}|\lambda m\rangle }$ appartiene all'autovalore ${\displaystyle (m-1)\hbar }$:

${\displaystyle L_{z}L_{+}|\lambda m\rangle =(m+1)\hbar L_{+}|\lambda m\rangle }$

${\displaystyle L_{z}L_{-}|\lambda m\rangle =(m-1)\hbar L_{-}|\lambda m\rangle }$

${\displaystyle L^{2}|\lambda m\rangle =\lambda \hbar ^{2}|\lambda m\rangle }$ e ${\displaystyle {L_{z}}^{2}|\lambda m\rangle =m^{2}\hbar ^{2}|\lambda m\rangle }$

${\displaystyle (L^{2}-{L_{z}}^{2})|\lambda m\rangle =(\lambda -m^{2})\hbar ^{2}|\lambda m\rangle }$

${\displaystyle ({L_{x}}^{2}+{L_{y}}^{2})|\lambda m\rangle =(\lambda -m^{2})\hbar ^{2}|\lambda m\rangle }$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(L_{+}L_{-}+L_{-}L_{+})|\lambda m\rangle =(\lambda -m^{2})\hbar ^{2}|\lambda m\rangle }$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\langle \lambda m|(L_{+}L_{-}+L_{-}L_{+})|\lambda m\rangle =(\lambda -m^{2})\hbar ^{2}}$

Da cui segue che:

${\displaystyle -{\sqrt {\lambda }}<m<{\sqrt {\lambda }}}$

cioè m è limitato sia inferiormente che superiormente.

Con l'uso degli operatori a scala è facile trovare i valori massimo e minimo di m, risolvendo:

${\displaystyle L_{-}L_{+}|\lambda m_{max}\rangle =0}$

${\displaystyle L_{+}L_{-}|\lambda m_{min}\rangle =0}$

Si ottengono così le relazioni fondamentali

${\displaystyle m_{max}=-m_{min}={\frac {n}{2}}=j}$

${\displaystyle \lambda =j{\big (}j+1)}$

dove n è un intero qualsiasi e dunque j può assumere qualsiasi valore intero o semintero.

Le equazioni agli autovalori sono così risolte

${\displaystyle L^{2}|jm\rangle =j(j+1)\hbar ^{2}|jm\rangle }$

${\displaystyle L_{z}|jm\rangle =m\hbar |jm\rangle }$

e si è ottenuto il risultato fondamentale della quantizzazione del momento angolare. Inoltre si è scoperto che la teoria quantistica ammette valori di j e di m seminteri: vedi spin.

• Quantizzazione spaziale