Score (statistica)

In statistica, il termine score indica il gradiente (il vettore delle derivate parziali) del logaritmo della funzione di verosimiglianza.

In termini formali, data l'osservazione ${\displaystyle X}$ con funzione di verosimiglianza ${\displaystyle L(\theta ;X)}$, lo score ${\displaystyle V}$ è dato da:

${\displaystyle V={\frac {\partial }{\partial \theta }}\log L(\theta ;X)={\frac {1}{L(\theta ;X)}}{\frac {\partial L(\theta ;X)}{\partial \theta }}.}$

${\displaystyle V}$ è una funzione di ${\displaystyle \theta }$ (i parametri da stimare) e ${\displaystyle X}$ (le osservazioni).

Sotto alcune condizioni di regolarità, il valore atteso di ${\displaystyle V}$ rispetto all'osservazione x condizionato a ${\displaystyle \theta }$, ovvero ${\displaystyle \mathbb {E} (V|\theta )}$, è nullo.

Riscrivendo la funzione di veromiglianza come funzione di densità (${\displaystyle L(\theta ;x)=f(x;\theta )}$), si ha infatti:

${\displaystyle \mathbb {E} (V|\theta )=\int _{x=-\infty }^{+\infty }\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}\log f(x;\theta )\right)f(x;\theta )dx=\int _{x=-\infty }^{+\infty }{\frac {\frac {\partial f(x;\theta )}{\partial \theta }}{f(x;\theta )}}f(x;\theta )dx}$

da cui, semplificando otteniamo:

${\displaystyle \mathbb {E} (V|\theta )=\int _{x=-\infty }^{+\infty }{\frac {\partial f(x;\theta )}{\partial \theta }}\,dx={\frac {\partial }{\partial \theta }}\int _{x=-\infty }^{+\infty }f(x;\theta )\,dx={\frac {\partial }{\partial \theta }}1=0.}$

La varianza dello score è l'informazione di Fisher: ${\displaystyle {\mathcal {I}}(\theta )}$.

Poiché il valore atteso dello score è nullo, la varianza dello score è data da:

${\displaystyle {\mathcal {I}}(\theta )=\mathbb {E} \left\{\left.\left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}\log L(\theta ;X)\right]^{2}\right|\theta \right\}.}$

• Informazione di Fisher

• (EN) Eric W. Weisstein, Score Function, su MathWorld, Wolfram Research.